Μαθηματικά και Μουσική (Γκάντζου Λυδία).

Μαθηματικά και Μουσική ( Τέχνη )

·     Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία για τη μουσική και τα μαθηματικά

Το πρόσωπο και η διδασκαλία του Πυθαγόρα είναι θέματα μάλλον σκοτεινά. Από το έργο του τίποτε δεν σώθηκε, οι αρχαίες, βιογραφικές κυρίως ειδήσεις (από το Διογένη το Λαέρτιο, τον Ιάμβλιχο, τον Πορφύριο), είναι γεμάτες ανεκδοτολογικά στοιχεία.

Οι παλαιότερες μαρτυρίες για το πρόσωπο του Πυθαγόρα προέρχονται από τον Ηράκλειτο (“ο Πυθαγόρας, ο γιος του Μνησάρχου, άσκησε την έρευνα περισσότερο από όλους τους ανθρώπους και, διαλέγοντας αυτές τις ιδιότητες, οικειοποιήθηκε τη σοφία, την ΐ πολυμάθεια και τη δολιοτεχνία”), τον Ηρόδοτο (“…ο Ζάλμοξης είχε συναναστραφεί με Έλληνες και ανάμεσα τους με τον Πυθαγόρα, που δεν ήταν κατώτερος από τους σοφούς…”), αλλά και από τον Εμπεδοκλή, τον Ίωνα τον Χίο και τον Ξενοφάνη.

O Αριστοτέλης κάνει λόγο για Πυθαγόρειους. Πρόκειται για τους μαθητές ή για μεταγενέστερους οπαδούς του Πυθαγόρα. Ελάχιστα αποσπάσματα τους σώθηκαν από το Φιλόλαο, ο οποίος ήταν σύγχρονος του Σωκράτη, και από τον Αρχύτα, που ήταν σύγχρονος του Πλάτωνα.

Αριθμητική και Γεωμετρία

Για τον Πυθαγόρα η μουσική και τα μαθηματικά γίνεται άσκηση με σκοπό την υπέρβαση των σωματικών περιορισμών και την κάθαρση της ψυχής, για να μπορέσει η τελευταία να απελευθερωθεί από τον κύκλο της μετενσάρκωσης για να φτάσει τελικά στη θεότητα από την οποία προέρχεται.

Όπως στον άνθρωπο υπάρχουν η ψυχή και το σώμα, έτσι και στον κόσμο δύο αρχές βρίσκονται σε αντίθεση, το όριο (το πέρας) και το άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η σύγκρουση είναι φαινομενική, γιατί στην πραγματικότητα το πέρας είναι αυτό που διοικεί και οργανώνει τον κόσμο. H ύψιστη έκφραση του πέρατος είναι ο αριθμός, ο οποίος αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της τάξης που βάζει το πέρας στον κόσμο.

Η θεωρία των αριθμών είναι το πιο χαρακτηριστικό στοιχείο του Πυθαγορισμού. Τα αντικείμενα «είναι» αριθμοί ή «ομοιάζουν» με αριθμούς.

Ο Πυθαγόρας «συνέλαβε» τους αριθμούς κατά την προσπάθειά του να βρει μια πρωταρχική, άυλη, αναλλοίωτη αρχή των όντων. Οι αριθμοί είναι αυτοί λοιπόν που αποτελούν την πρώτη αρχή, την προσδιοριστική δύναμη του κόσμου και στη σχέση ανάμεσά τους βρίσκεται η ουσία των όντων. Για το λόγω του ότι είναι αυτή η ίδια η ουσία του κόσμου και όχι απλώς σύμβολα ποσοτικών σχέσεων, οι αριθμοί θεωρούνται «ιεροί».

Ακόμη και οι αφηρημένες έννοιες στον Πυθαγορισμό συνδέονται με τους αριθμούς. Π.χ. η δικαιοσύνη συνδέεται με τον αριθμό 4 δηλαδή με τον πρώτο τετραγωνικό αριθμό και ο γάμος με τον αριθμό 5. Ο άνθρωπος παριστάνεται με τον αριθμό 250 κ.λ.π. Οι ψυχολογικοί συνειρμοί που λειτούργησαν εδώ δεν έχουν αποσαφηνιστεί.

Κοσμική Αρμονία: στον Πυθαγορισμό κοσμική σημασία έχει η «ιερή δεκάδα»: η μυστική της ονομασία, τετρακτύς της δεκάδας, συνεπάγεται ότι 1+2+3+4=10, αλλά μπορεί να νοηθεί και ως το «τέλειο τρίγωνο».

Όπως είπαμε η ουσία των όντων σύμφωνα με τον Πυθαγόρα είναι οι αριθμοί. Επιπλέον πίστευε ότι το σύμπαν προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία, γι’ αυτό και πρώτος το ονόμασε «Κόσμο», δηλαδή τάξη και αρμονία.

Αρμονία όμως για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης. Αυτή είναι η «τετρακτύς» για την ψυχή. Αυτές οι φιλοσοφικές του αντιλήψεις επηρέασαν τον Πλάτωνα, ο οποίος αργότερα θεωρεί ότι η αρμονία της μουσικής καθρεφτίζει την αρμονία της ψυχής.

Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα το σύμπαν βρίσκεται σε διάταξη αρμονίας και η θεωρία του, η θέασή του, είναι αυτή που φέρνει την κάθαρση. Αυτό οδήγησε στη θεωρία του Πυθαγόρα για την «Αρμονία των σφαιρών». Το σύνολο των ήχων, δηλαδή, που παράγονται από την περιστροφή των πλανητών, ανάλογα πάντα με την απόστασή τους από τη γη, και οι οποίοι, όμως, δεν ακούγονται.

Στην αριθμητική η συμβολή του Πυθαγόρα δεν ήταν τόσο σημαντική όσο η συμβολή του στην επιστήμη της Γεωμετρίας.

Παρόλα αυτά ο Πυθαγόρας είναι αυτός που δημιούργησε τον Πυθαγόρειο Πίνακα ή Άβακα, τον πασίγνωστο σε όλους μας πίνακα πολλαπλασιασμού ή αλλιώς προπαίδεια. Είναι δηλαδή ο πίνακας που δίνει τα γινόμενα των δέκα πρώτων ακέραιων αριθμών.

Στη Γεωμετρία η συμβολή του είναι αξιοσημείωτη αφού είναι αυτός που ανακάλυψε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. Αυτή η θεωρία του σήμερα ονομάζεται στην επιστήμη της γεωμετρίας «πυθαγόρειο θεώρημα».

Σήμερα σκεφτόμαστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως αλγεβρική σχέση a² +  b² =   c² , από την οποία το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί, λαμβάνοντας υπόψη τα μήκη των άλλων δύο πλευρών.

Αλλά ο Πυθαγόρας δεν την αντιλήφθηκε έτσι. Γι’ αυτόν ήταν μια γεωμετρική δήλωση για τα εμβαδά. Και μόνο με την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας, περίπου το 16ο αιώνα, 
το Θεώρημα εξοικειώθηκε στην αλγεβρική του μορφή.

Είναι σημαντικό να αντέξει αυτό στο μυαλό, εάν πρόκειται να επισημάνουμε την εξέλιξη του Θεωρήματος κατά τη διάρκεια των 2.500 ετών από τότε που ο Πυθαγόρας υποθετικά το απέδειξε πρώτος και το έκανε αθάνατο. Και δεν ήταν ούτε καν ο πρώτος που ανακάλυψε το Θεώρημα. Ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους και ενδεχομένως στους Κινέζους, τουλάχιστον χίλια έτη πριν από αυτόν.

Μουσική διάστημα

Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα».

Στη θεωρία της Μουσικής μάλιστα η λέξη διάστημα είχε διπλή σημασία. Διότι αφενός μεν ονομαζόταν διάστημα η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του μουσικού διαστήματος, αφετέρου δε αυτή η λέξη ήταν σύμφωνη με την καθημερινή έννοιά της και το «τμήμα ευθείας», δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Το μουσικό διάστημα, που εκφραζόταν ως «σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους» στη θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομαζόταν αρχικά διάστημα = απόσταση δυο σημείων απ’ αλλήλων. Το «διάστημα» αυτό είχε πράγματι δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δινόντουσαν ως αριθμοί.

Πιο συγκεκριμένα ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που πρώτος έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της Μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν.

Για να το πετύχει αυτό χρησιμοποίησε ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος, το «Μονόχορδο».

Με άλλα λόγια οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν μια σχέση απόλυτα σταθερή ανάμεσα στο μήκος των χορδών της λύρας και των βασικών συγχορδιών (1/2 για την όγδοη, 3/2 για την πέμπτη και 4/3 για την τέταρτη). H θαυμαστή ιδιότητα αυτών των αρμονικών σχέσεων έγκειτο στο ότι περιλάμβαναν τους τέσσερις πρώτους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4), το άθροισμα των οποίων ισούται με το 10, τον ιερό αριθμό των Δελφών (Τετρακτύς).

Σε αυτή την αντίληψη για τις ιδιότητες των αριθμών, οι οποίοι εκφράζουν επιστημονικούς όρους της πραγματικότητας και αναπαριστούν συμβολικά τη θεία τάξη, έχει τις ρίζες της όλη η ανάπτυξη των πυθαγόρειων μαθηματικών, τα οποία ήταν ταυτόχρονα και επιστήμη και αριθμητικός μυστικισμός. Όταν είχαν σχέση με το δεύτερο, οι αριθμοί άρχισαν να εκλαμβάνονται ως σύμβολα της ζωής, των αρετών και των αξιών – π.χ., το 4, δηλαδή το δύο στο τετράγωνο, ήταν το σύμβολο της δικαιοσύνης (πυθαγόρεια αριθμολογία).

Είναι φανερό ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στην Ελλάδα αυτές τις αντιλήψεις.

Τα ιδιαίτερα διαφέροντα του Πυθαγόρα ήταν πρώτα και κύρια τα μαθηματικά. Μπορούμε να θεωρήσουμε βέβαιο πως αυτό δεν σημαίνει απλώς ότι έτρεφε δεισιδαιμονίες περί τους αριθμούς, αλλά ότι έκαμε πραγματικές και σημαντικές προόδους στα μαθηματικά. Οι ανακαλύψεις που έκανε ήταν ολοκληρωτικά και εκπληκτικά καινούριες.

H πιο εκπληκτική του ανακάλυψη, και αυτή που λένε ότι άσκησε την ευρύτερη επίδραση πάνω στη σκέψη του και ότι υπήρξε το θεμέλιο της μαθηματικής του φιλοσοφίας, αφορούσε το πεδίο της μουσικής. Ανακάλυψε ότι αυτά τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ακόμη και τώρα ονομάζονται τέλειες αρμονίες μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών 1,2,3 και 4. Οι αριθμοί αυτοί προστιθέμενοι μας δίνουν το 10, αριθμό που, σύμφωνα με τον περίεργο πυθαγόρειο συνδυασμό μαθηματικών και μυστικισμού, ονομαζόταν τέλειος αριθμός.

Γραφικά παριστανόταν με το σχήμα το καλούμενο "τετρακτύς", δηλαδή το παρακάτω σχήμα:

Η Τετρακτύς αποτελούσε την ουσία της διδασκαλίας των Πυθαγορείων. Είναι το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων φυσικών αριθμών (1+2+3+4=10) που συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς, είναι δυνατόν να κατασκευασθούν οι αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης αρμονικής. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία που για τους Πυθαγόρειους είχε σημασία κυριολεκτικά κοσμική. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύν για να ορκισθούν, επικαλούμενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό.

H αναλογία 2:1 στο σχήμα αυτό μας δίνει την ογδόη, η αναλογία 3:2 την πέμπτη και η αναλογία 4:3 την τετάρτη. Αν τώρα κάποιος δεν γνώριζε αυτό το πράγμα, δεν ήταν κάτι που θα το αντιμετώπιζε καθώς θα έπαιζε τη λύρα και θα κτυπούσε τις χορδές με μια κάποια πιθανότητα να κάμει και σφάλματα . H ανακάλυψη ήταν ότι υφίσταται μια σύμφυτη τάξη, μια αριθμητική οργάνωση μέσα στην ίδια τη φύση του ήχου, και η ανακάλυψη παρουσιαζόταν σαν αποκάλυψη σχετική με τη φύση του Σύμπαντος.

Χάρη στην ανακάλυψη του Πυθαγόρα, η μουσική παρουσίαζε στους οπαδούς του το καλύτερο παράδειγμα της πρακτικής εφαρμογής αυτής της αρχής. Την ορθότητα της αρχής τόνιζε η ομορφιά της μουσικής, προς την οποία ο Πυθαγόρας – όπως και οι περισσότεροι Έλληνες – ήταν ευαίσθητος, γιατί η λέξη "κόσμος" σήμαινε για τον Έλληνα και την ομορφιά και την τάξη.

Το πέρας ταυτιζόταν με την ομορφιά, και άλλη μια απόδειξη αυτής της αρχής ήταν το ότι, αν την εφαρμόζαμε στο πεδίο των ήχων, από τη δυσαρμονία γεννιόταν η ομορφιά. Επομένως το όλο πεδίο του ήχου, που εκτεινόταν απεριόριστα και προς τις δύο αντίθετες κατευθύνσεις, υψηλά ή χαμηλά, αποτελούσε παράδειγμα του απείρου. Το πέρας αντιπροσωπεύεται από το αριθμητικό σύστημα των αναλογιών ανάμεσα στις αρμονικές νότες, σύστημα που επιβάλει την τάξη στο σύνολο.

Το σύστημα αυτό οριοθετείται με βάση ένα κατανοητό σχέδιο. Το σχέδιο αυτό δεν το επινόησε ο άνθρωπος, αλλά υπήρχε ανέκαθεν και περίμενε τον άνθρωπο να το ανακαλύψει. Αυτή η διαδικασία, που την συναντούμε εδώ σε ένα μοναδικό, εκπληκτικό παράδειγμα, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως αποτελούσε την κύρια αρχή που λειτουργεί μέσα στο Σύμπαν ως σύνολο.

Δεν είναι λοιπόν απορίας άξιο (αν συλλογιστούμε ότι η φιλοσοφία τότε βρισκόταν στο αρχικό της στάδιο και απουσίαζε κάθε συστηματική μελέτη της λογικής, ακόμα και της γραμματικής) το γεγονός ότι οι Πυθαγόρειοι εξέφρασαν την καινοφανή τους πεποίθηση με τη φράση ότι "τα όντα είναι οι αριθμοί". Έτσι, αυτή η φράση μας δίνει την κύρια γραμμή της σκέψης τους.

· Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΜΙΑ ΝΕΥΡΟΛΟΓΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ.

Σίγουρα θα έχετε ακούσει από κάπου πως ακούγοντας κλασική μουσική μπορεί να βελτιωθούν οι μαθηματικές σας ικανότητες. Ανά καιρούς πάντα θα εμφανίζεται κάποιο άρθρο που θα συνδέει την κλασική μουσική και τα μαθηματικά ή ακόμα πιο συγκεκριμένα, κλασικές συνθέσεις που υποβοηθούν σε αυτή την επιστήμη, με πρωτομάστορα τον Bach και άλλους συνθέτες ή μεμονωμένα έργα συνθετών.

Αρκετοί μάλιστα έχουν καταχωρήσει στο μυαλό τους την κλασική μουσική ως ένα είδος μαγικού φίλτρου που βελτιώνει την μαθηματική αντίληψη. Πριν όμως καταλήξουμε σε κάποια απόφαση θα πρέπει να αναρωτηθούμε για τα βασικά στοιχεία αυτής της περίεργης σύνδεσης — και η πρώτη ερώτηση πρέπει να ‘ναι: ποιο τμήμα του εγκεφάλου ελέγχει την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής; Επίσης μια άλλη ερώτηση θα ήταν «πώς διεγείρει η μουσική το μυαλό με τέτοιο τρόπο ώστε να ενισχύονται οι μαθηματικές ικανότητες;».

Μουσική και μαθηματικά

Μέσω μελετών, έχουν ανακαλυφθεί πολλά στοιχεία που υποστηρίζουν τα θετικά αποτελέσματα της μουσικής στην ενίσχυση των μαθηματικών δεξιοτήτων. Οι περισσότερες έρευνες δείχνουν ότι τα παιδιά που εκπαιδεύονται στη μουσική σε νεαρή ηλικία τείνουν να βελτιώνουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες στο μέλλον. Το περίεργο με αυτές τις μελέτες είναι πως δεν αφορούν την μουσική ως σύνολο για την ενίσχυση των δεξιοτήτων παρά μόνο ορισμένες πτυχές της μουσικής που επηρεάζουν την ικανότητα του ανθρώπου για μαθηματική σκέψη.

Μια ιδιαίτερη μελέτη που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Nature έδειξε ότι στις ομάδες πρώτης Δημοτικού που παρουσιάστηκε κάποιο σεμινάριο μουσικής και κρουστών που είχε σχέση με παιχνίδια και άλλες δραστηριότητες, παρατηρήθηκε πως μετά από έξι μήνες τα παιδιά που συμμετείχαν παρουσίασαν βελτίωση στα μαθηματικά, ενώ τα παιδιά που δεν συμμετείχαν δεν παρουσίασαν καμιά βελτίωση.

Το αποτέλεσμα της μελέτης αυτής θέτει ένα άλλο σημαντικό ζήτημα. Πώς αυτό το είδος μουσικής που έδινε έμφαση σε δεξιότητες διαδοχικής ερμηνείας, ρυθμού και ελέγχου τονικού ύψους να μπορέσει να τονίσει την ικανότητα των παιδιών στην επίλυση μαθηματικών πράξεων;

Αποδείχθηκε ότι υπάρχουν δυο μορφές λογικής σκέψης. Η μια λέγεται Spatial Temporal (ST) και η άλληLanguage Analytical (LA). Η LA λογική συμμετέχει στην επίλυση των εξισώσεων και την απόκτηση ποσοτικών αποτελεσμάτων. Η ST λογική χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες όπως το σκάκι και, γενικώς, σε καταστάσεις που απαιτείται να σκεφτόμαστε μελλοντικές κινήσεις.

Η επίδραση της μουσικής στα μαθηματικά ονομάζεται μερικές φορές και το «Φαινόμενο Μότσαρτ».

Φαινόμενο Μότσαρτ

“Το φαινόμενο Μότσαρτ (Mozart Effect) είναι ονομασία που δόθηκε για να εξηγήσει την στατιστικά σημαντική αύξηση όσον αφορά την βαθμολογία σε τεστ μελέτης Spatial Temporal που παρατηρείται αμέσως μετά την ακρόαση μια σονάτας για πιάνο γραμμένη από τον Μότσαρτ. Το συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον Alfred A. Tomatis, ο οποίος χρησιμοποιούσε τη μουσική του Mozart στις έρευνές του αποσκοπώντας στο να θεραπεύσει μια σειρά διαταραχών.

Μερικά πολύ βασικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για την χοροχρονική συλλογιστική (spatial temporal reasoning) είναι τα παρακάτω:

1.    Ο μετασχηματισμός και ο συσχετισμός που αφορά εικόνες στον χώρο και στον χρόνο

2.    Συμμετρίες των μοτίβων του εγγενή φλοιού του εγκεφάλου, που η πυροδότησή του χρησιμοποιείται για την σύγκριση εικόνων

3.    Φυσικές χρονικές ακολουθίες των μοτίβων του εγγενής φλοιού“

  

Οι ίδιοι άνθρωποι που διεξήγαγαν το πείραμα του φαινομένου του Μότσαρτ πρότειναν πως η χοροχρονική συλλογιστική είναι ζωτικής σημασίας για τα μαθηματικά. Ο τομέας των μαθηματικών που απαιτεί λογική ST είναι κατά κύριο λόγο η γεωμετρία — αλλά υπάρχουν και ορισμένες πτυχές άλλων τομέων που απαιτούν τον μετασχηματισμό εικόνων στον χώρο και τον χρόνο.

Σε ανώτερα μαθηματικά, η ικανότητα αποτύπωσης μαθηματικών αποδείξεων συνδέεται επίσης με την ST λογική, διότι η γραπτή απόδειξη είναι μια διαδικασία που απαιτεί διαίσθηση φυσικών ακολουθιών και την ικανότητα να σκεφτόμαστε πολλά βήματα μπροστά.

Όσον αφορά το ερώτημα «ποιο μέρος του εγκεφάλου ελέγχει την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής», υπάρχουν πολλές πηγές που μας δίνουν την απάντηση που θέλουμε. Ο Δρ. Gottfried Schlaug διαπίστωσε ότι ορισμένες περιοχές του εγκεφάλου, όπως το μεσολόβιο και ο δεξιός κινητικός φλοιός, ήταν μεγαλύτερος σε μουσικούς που ξεκίνησαν την μουσική τους κατάρτιση πριν από την ηλικία των 7 ετών.

Όσο για το τι θα συμβεί σε εκείνη την περιοχή του εγκεφάλου όταν κάποιος ακούει μουσική, μπορούμε να στραφούμε προς το πείραμα που έκαναν οι Xiaodeng Leng και Gordon Shaw. Οι Gordon και Leng ανέπτυξαν ένα μοντέλο υψηλής λειτουργίας του εγκεφάλου η οποία βασίζεται στο μοντέλο trion. Το πείραμα αυτό μας έδειξε ότι το τμήμα του εγκεφαλικού φλοιού μπορεί να διεγερθεί από τη μουσική και χρησιμοποιείται σε ανώτερες εγκεφαλικές λειτουργίες όπως η χωροχρονική σκέψη στα μαθηματικά.

Εν κατακλείδι, οι έρευνες που αφορούν την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής φαίνεται να δείχνουν ότι η μουσική ενισχύει τις δεξιότητες στα μαθηματικά. Η μουσική στοχεύει σε μια συγκεκριμένη περιοχή του εγκεφάλου για την τόνωση της χρήσης της χωροχρονικής λογικής, η οποία είναι χρήσιμη για την μαθηματική σκέψη.

Ωστόσο, όσον αφορά το ζήτημα του κατά πόσον ή όχι η μουσική είναι το… “μαγικό συστατικό” που θα ανυψώσει την ικανότητα του καθενός να κάνει με ευκολία μαθηματικές πράξεις, η απάντηση δυστυχώς είναι αρνητική. Επειδή πολλοί μαθηματικοί είναι λάτρεις της μουσικής, δεν σημαίνει ότι όλοι οι μουσικοί είναι λάτρεις των μαθηματικών. 

·      Μαθηματικά και μουσική

Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας...

Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ’αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).
Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.

Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε 
Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .

Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς»

(Η Τετρακτύς αποτελεί τον ακρογονιαίο λίθο της μουσικής θεωρίας των

Πυθαγορείων. Πρόκειται για την τετράδα των αριθμών  1, 2, 3 και 4, οι οποίοι

συμμετέχουν  στις συμφωνίες της πυθαγόρειας μουσικής θεωρίας.) 

Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα. 
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). 

Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής: 

- Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. 
- Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. 
- Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. 
- Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής. 

Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν. 
Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε. 
Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου. 
Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.




Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.
Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης
μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2
στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.
Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα
Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12 .................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 .................κόμμα του Μερκάτορα
68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 .................Βυζαντινό ηχομόριο
301 ...............Savart
665 ...............Delfi unit
1200 ..............cent

Πηγές :

·       http://www.musicheaven.gr/html/modules.php?name=News&file=article&sid=432

·       http://fridge.gr/60582/stiles/mousiki-mathimatika/

·       http://www.kalyterotera.gr/2013/01/blog-post_7382.html